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Non Linear Constitutive models for lattice materials

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Modelli costitutivi non lineari per materiali lattice

​I lattice materials sono una sotto-classe dei materiali cellulari caratterizzata da una microstruttura regolare e periodica che può essere descritta come una rete di travi snelle. Allo stesso modo di tutti i materiali cellulari, questi combinano una elevata rigidezza e resistenza ad una grande leggerezza e capacità di assorbimento di energia, che non può essere ottenuta mediante materiali solidi tradizionali. In più, grazie alla loro struttura regolare e controllata questi materiali possono essere specificamente progettati per ottenere dei comportamenti ben precisi, ad esempio è possibile specificare il modulo di Young o il modulo di Poisson in diverse direzioni indipendentemente, o definire quale sarà la modalità di rottura. Le recenti tecniche di produzione additiva consentono la produzione di reticoli ad una scala molto piccola e con grande precisione, pertanto è possibile realizzare componenti complessi in con struttura trabecolare a costi ridotti.

In letteratura i modelli esistenti per l’analisi di materiali microstrutturati, in genere si fermano al campo lineare. Tuttavia le applicazioni principali di questi materiali sfruttano le loro caratteristiche di non linearità. Questo si occupa di sviluppare un modello costitutivo per l’analisi delle non linearità geometriche dei materiali con microstruttura reticolare. Numerosi studi hanno riguardato delle topologie semplici ed hanno ottenuto delle espressioni in forma chiusa per la rigidezza e la resistenza dei materiali trabecolari. Purtroppo questo approccio non può in generale essere esteso al campo non lineare in quanto non sono disponibili modelli analitici non lineari per le travi soggette a spostamenti finiti. L’approccio presentato in questo studio fa parte della classe dei metodi che si basano su un Elemento Rappresentativo del Volume (RVE), che derivano il legame costitutivo macroscopico per mezzi eterogenei a partire dalla analisi di un piccolo volume di riferimento. Il RVE consiste in una limitata regione del solido in esame che contiene le caratteristiche essenziali del materiale, e che risponde come se si trovasse in un mezzo infinito se vengono applicate condizioni al contorno uniformi. Quindi, da una parte abbiamo un modello ad elementi finiti macroscopico, le cui condizioni al contorno vengono definite dal problema generale, e dove il materiale è trattato come un continuo. Dall’altra abbiamo un modello microscopico del RVE le cui condizioni al contorno sono generate dal modello macroscopico.

 Il modello microscopico è interrogato ad ogni punto di integrazione del modello macroscopico, ed in questo modo è possibile assemblare il vettore delle forze interne e la matrice di rigidezza tangente, allo stesso modo in cui si procede per i materiali solidi tradizionali. In questo studio seguiamo un approccio che permette di determinare lo stress macroscopico come il gradiente della densità di energia di deformazione rispetto alle componenti del tensore di deformazione macroscopico. Questa formulazione porta a delle espressioni matriciali compatte che si integrano direttamente all’interno di programmi per gli elementi finiti, e può gestire sia non linearità geometriche che del materiale. La scelta del RVE gioca un ruolo molto importante all’interno di questo quadro di omogeneizzazione computazionale. Siccome questo studio è incentrato sui materiali con struttura periodica, è facile individuare la minima entità che è in grado di generare il materiale attraverso replicazione in tutte le direzioni, la cosiddetta cella unitaria. Tuttavia questa scelta non è univoca in quanto un qualsiasi numero intero di celle unitarie può ancora generare l’intero solido. Pertanto è lecito chiedersi in che maniera la dimensione del RVE influenzi la risposta del materiale. Questo studio si concentra per lo più sulle non linearità geometriche, ed è stato dimostrato che se non si verificano delle biforcazioni nel materiale, la risposta è indipendente dal numero di celle unitarie, mentre in caso di biforcazioni è necessario effettuare delle analisi di convergenze sulla dimensione del RVE per stabilire quale è la dimensione minima che consenta una accurata modellazione del materiale. Il modello costitutivo sviluppato in questo studio è stato validato mediante il confronto con modelli discreti. Una piastra con un foro circolare fatta con materiali a traliccio è stata analizzata sia con un modello discreto che includeva tutte le microtravi singolarmente, sia con un modello continuo con un materiale omogenizzato in maniera computazionale. I risultati del modello discreto sono stati confrontati con le predizioni del modello continuo, ed è stato trovato un buon accordo qualitativo e quantitativo tra i due modelli.

 

 

Modelli costitutivi non lineari per materiali lattice<img alt="" src="http://webtest.cira.it/PublishingImages/multiscale_scheme_b.jpg" style="BORDER:0px solid;" />https://www.cira.it/it/spazio/accesso-allo-spazio-satelliti-ed-esplorazione/metmat/modelli-costitutivi-non-lineari-per-materiali-lattice/Modelli costitutivi non lineari per materiali latticeModelli costitutivi non lineari per materiali lattice<p style="text-align:justify;">​I lattice materials sono una sotto-classe dei materiali cellulari caratterizzata da una microstruttura regolare e periodica che può essere descritta come una rete di travi snelle. Allo stesso modo di tutti i materiali cellulari, questi combinano una elevata rigidezza e resistenza ad una grande leggerezza e capacità di assorbimento di energia, che non può essere ottenuta mediante materiali solidi tradizionali. In più, grazie alla loro struttura regolare e controllata questi materiali possono essere specificamente progettati per ottenere dei comportamenti ben precisi, ad esempio è possibile specificare il modulo di Young o il modulo di Poisson in diverse direzioni indipendentemente, o definire quale sarà la modalità di rottura. Le recenti tecniche di produzione additiva consentono la produzione di reticoli ad una scala molto piccola e con grande precisione, pertanto è possibile realizzare componenti complessi in con struttura trabecolare a costi ridotti. </p><p style="text-align:justify;">In letteratura i modelli esistenti per l’analisi di materiali microstrutturati, in genere si fermano al campo lineare. Tuttavia le applicazioni principali di questi materiali sfruttano le loro caratteristiche di non linearità. Questo si occupa di sviluppare un modello costitutivo per l’analisi delle non linearità geometriche dei materiali con microstruttura reticolare. Numerosi studi hanno riguardato delle topologie semplici ed hanno ottenuto delle espressioni in forma chiusa per la rigidezza e la resistenza dei materiali trabecolari. Purtroppo questo approccio non può in generale essere esteso al campo non lineare in quanto non sono disponibili modelli analitici non lineari per le travi soggette a spostamenti finiti. L’approccio presentato in questo studio fa parte della classe dei metodi che si basano su un Elemento Rappresentativo del Volume (RVE), che derivano il legame costitutivo macroscopico per mezzi eterogenei a partire dalla analisi di un piccolo volume di riferimento. Il RVE consiste in una limitata regione del solido in esame che contiene le caratteristiche essenziali del materiale, e che risponde come se si trovasse in un mezzo infinito se vengono applicate condizioni al contorno uniformi. Quindi, da una parte abbiamo un modello ad elementi finiti macroscopico, le cui condizioni al contorno vengono definite dal problema generale, e dove il materiale è trattato come un continuo. Dall’altra abbiamo un modello microscopico del RVE le cui condizioni al contorno sono generate dal modello macroscopico.</p><p style="text-align:justify;"> Il modello microscopico è interrogato ad ogni punto di integrazione del modello macroscopico, ed in questo modo è possibile assemblare il vettore delle forze interne e la matrice di rigidezza tangente, allo stesso modo in cui si procede per i materiali solidi tradizionali. In questo studio seguiamo un approccio che permette di determinare lo stress macroscopico come il gradiente della densità di energia di deformazione rispetto alle componenti del tensore di deformazione macroscopico. Questa formulazione porta a delle espressioni matriciali compatte che si integrano direttamente all’interno di programmi per gli elementi finiti, e può gestire sia non linearità geometriche che del materiale. La scelta del RVE gioca un ruolo molto importante all’interno di questo quadro di omogeneizzazione computazionale. Siccome questo studio è incentrato sui materiali con struttura periodica, è facile individuare la minima entità che è in grado di generare il materiale attraverso replicazione in tutte le direzioni, la cosiddetta cella unitaria. Tuttavia questa scelta non è univoca in quanto un qualsiasi numero intero di celle unitarie può ancora generare l’intero solido. Pertanto è lecito chiedersi in che maniera la dimensione del RVE influenzi la risposta del materiale. Questo studio si concentra per lo più sulle non linearità geometriche, ed è stato dimostrato che se non si verificano delle biforcazioni nel materiale, la risposta è indipendente dal numero di celle unitarie, mentre in caso di biforcazioni è necessario effettuare delle analisi di convergenze sulla dimensione del RVE per stabilire quale è la dimensione minima che consenta una accurata modellazione del materiale. Il modello costitutivo sviluppato in questo studio è stato validato mediante il confronto con modelli discreti. Una piastra con un foro circolare fatta con materiali a traliccio è stata analizzata sia con un modello discreto che includeva tutte le microtravi singolarmente, sia con un modello continuo con un materiale omogenizzato in maniera computazionale. I risultati del modello discreto sono stati confrontati con le predizioni del modello continuo, ed è stato trovato un buon accordo qualitativo e quantitativo tra i due modelli. </p>

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