I lattice materials sono una sotto-classe dei materiali
cellulari caratterizzata da una microstruttura regolare e periodica che può
essere descritta come una rete di travi snelle. Allo stesso modo di tutti i
materiali cellulari, questi combinano una elevata rigidezza e resistenza ad
una grande leggerezza e capacità di assorbimento di energia, che non può
essere ottenuta mediante materiali solidi tradizionali. In più, grazie alla
loro struttura regolare e controllata questi materiali possono essere
specificamente progettati per ottenere dei comportamenti ben precisi, ad
esempio è possibile specificare il modulo di Young o il modulo di Poisson in
diverse direzioni indipendentemente, o definire quale sarà la modalità di
rottura. Le recenti tecniche di produzione additiva consentono la produzione
di reticoli ad una scala molto piccola e con grande precisione, pertanto è
possibile realizzare componenti complessi in con struttura trabecolare a costi
ridotti.
In letteratura i modelli esistenti per l’analisi di materiali
microstrutturati, in genere si fermano al campo lineare. Tuttavia le
applicazioni principali di questi materiali sfruttano le loro caratteristiche
di non linearità. Questo si occupa di sviluppare un modello costitutivo per
l’analisi delle non linearità geometriche dei materiali con microstruttura
reticolare. Numerosi studi hanno riguardato delle topologie semplici ed hanno
ottenuto delle espressioni in forma chiusa per la rigidezza e la resistenza
dei materiali trabecolari. Purtroppo questo approccio non può in generale
essere esteso al campo non lineare in quanto non sono disponibili modelli analitici
non lineari per le travi soggette a spostamenti finiti. L’approccio presentato
in questo studio fa parte della classe dei metodi che si basano su un Elemento
Rappresentativo del Volume (RVE), che derivano il legame costitutivo
macroscopico per mezzi eterogenei a partire dalla analisi di un piccolo volume
di riferimento. Il RVE consiste in una limitata regione del solido in esame
che contiene le caratteristiche essenziali del materiale, e che risponde come
se si trovasse in un mezzo infinito se vengono applicate condizioni al
contorno uniformi. Quindi, da una parte abbiamo un modello ad elementi finiti
macroscopico, le cui condizioni al contorno vengono definite dal problema
generale, e dove il materiale è trattato come un continuo. Dall’altra abbiamo
un modello microscopico del RVE le cui condizioni al contorno sono generate
dal modello macroscopico.
Il modello microscopico è interrogato ad ogni punto
di integrazione del modello macroscopico, ed in questo modo è possibile
assemblare il vettore delle forze interne e la matrice di rigidezza tangente,
allo stesso modo in cui si procede per i materiali solidi tradizionali. In
questo studio seguiamo un approccio che permette di determinare lo stress
macroscopico come il gradiente della densità di energia di deformazione
rispetto alle componenti del tensore di deformazione macroscopico. Questa
formulazione porta a delle espressioni matriciali compatte che si integrano
direttamente all’interno di programmi per gli elementi finiti, e può gestire
sia non linearità geometriche che del materiale. La scelta del RVE gioca un
ruolo molto importante all’interno di questo quadro di omogeneizzazione
computazionale. Siccome questo studio è incentrato sui materiali con struttura
periodica, è facile individuare la minima entità che è in grado di generare il
materiale attraverso replicazione in tutte le direzioni, la cosiddetta cella
unitaria. Tuttavia questa scelta non è univoca in quanto un qualsiasi numero
intero di celle unitarie può ancora generare l’intero solido. Pertanto è
lecito chiedersi in che maniera la dimensione del RVE influenzi la risposta
del materiale. Questo studio si concentra per lo più sulle non linearità
geometriche, ed è stato dimostrato che se non si verificano
delle biforcazioni nel materiale, la risposta è indipendente dal numero di
celle unitarie, mentre in caso di biforcazioni è necessario effettuare delle
analisi di convergenze sulla dimensione del RVE per stabilire quale è la
dimensione minima che consenta una accurata modellazione del materiale. Il
modello costitutivo sviluppato in questo studio è stato validato mediante il
confronto con modelli discreti. Una piastra con un foro circolare fatta con
materiali a traliccio è stata analizzata sia con un modello discreto che
includeva tutte le microtravi singolarmente, sia con un modello continuo con
un materiale omogenizzato in maniera computazionale. I risultati del modello
discreto sono stati confrontati con le predizioni del modello continuo, ed è stato trovato un buon accordo qualitativo e quantitativo
tra i due modelli.